Урок №12.Розв’язування рівнянь, систем рівнянь, оптимізаційних задач.

Розв’язування задач на підбір параметра

У багатьох задачах певний результат є відомим, а от значення параметрів, за яких цей результат досягається, — ні. Як приклад можна навести задачу, у якій потрібно визначити, через скільки годин скисне молоко або за якого обсягу випуску продукції фірма отримає прибуток у 1 000 000 грн. У математиці клас таких задач є найширшим. Це, зокрема, задачі на розв'язання алгебраїчних рівнянь та нерівностей або на пошук екстремумів.

У всіх подібних задачах використовується поняття цільової функції — вона має досягти певного значення або оптимізуватися (мінімізуватися чи максимізуватися). В електронній книзі формулу обчислення цільової функції записують у певну клітинку, яку також називають цільовою. Цільова функція залежить від параметрів (часто — від одного параметра), значення яких зберігаються в інших клітинках електронної таблиці.

Власне кажучи, задача полягає у підборі таких значень параметрів, за яких у цільовій клітинці буде отримано бажаний результат. У табличному процесорі Excel є спеціальні засоби, які автоматично підбирають потрібні значення у клітинках параметрів. Вони називаютьсяПідбір параметра та Пошук розв'язків. Перший із них дозволяє отримати в цільовій клітинці певне значення, а другий — оптимізувати значення цільової функції.

Засіб Підбір параметра застосовують наступним чином:

1. В одну з клітинок електронної таблиці слід увести формулу цільової функції. Це буде цільова клітинка (на рис. 1 — клітинка В2).

Рис. 1

2. Далі необхідно виконати команду Сервіс - Підбір параметра та заповнити поля у вікні, що відкриється:

● поле Установити у клітинці має містити адресу цільової клітинки;

● у поле Значення слід ввести значення, якого має набути цільова функція;

● у поле Змінюючи значення клітинки слід увести адресу клітин-ки-параметра.

Наприклад, на рис. 1 параметр міститиметься у клітинці В1, і якщо в цільовій клітинці В2 потрібно отримати значення 0, вікно Підбір параметра слід заповнити так, як на рис. 2.

Рис. 2

3. На завершення потрібно клацнути кнопку ОК. У цільовій клітинці буде відображено значення, якого має набувати цільова функція, а в клітинці параметра — шукане значення параметра.

Наприклад, на рис. 3 показано, як у клітинці В1 знайдено значення параметра (число 5), за якого цільова функція у клітинці В2 набуває значення 0. Тобто фактично розв'язано рівняння х - 5 = 0.

Рис. 3

Примітка. Підбір параметра майже завжди дає наближені значення результату. Тому, якщо в клітинці параметра після його підбору виводиться число 4,99999, то, скоріш за все, справжнім розв'язком задачі є число 5. Використовуючи засіб Підбір параметра, клітинку параметра можна залишити порожньою, однак бажано попередньо визначити деяке початкове значення, адже від цього залежить швидкість отримання результату (особливо коли йдеться про складні цільові функції), а у деяких випадках і сам результат. Якщо цільова функція складна, може виникнути ситуація, коли не одне, а кілька значень параметра відповідають її шуканому значенню. Яке з них буде знайдено, залежить від початкового значення в клітинці параметра. У таких випадках, перш ніж підбирати параметр, доцільно побудувати графік цільової функції, щоб визначити початкове значення параметра наближено.

2. Робота в класі

Завдання 1. За допомогою засобу Підбір параметра розв'яжіть рівняння 4соs²x + 3х = 15.

Методичні вказівки:

1. У нашій задачі цільовою є функція f(x) = 4соs²x + 3х, а 15 — це значення, якому вона має дорівнювати.

2. Створіть нову електронну книгу. Цільовою вважатимемо клітинку А2 і припустимо, що значення параметра зберігається у клітинці А1. Уведіть у клітинку А2 формулу =4*СOS(А1)^2+3*А1.

2. Виконайте команду Сервіс - Підбір параметра, заповніть поля у вікні Підбір параметра (рис. 4) і клацніть ОК.

Рис. 4

У результаті у клітинці А1 (рис. 5) буде виведено значення змінної х, за якого функція набуває значення 15. Як видно з рис.5, знайдене вами значення є наближеним, оскільки отримано число 14,99956, а не 15.

Рис. 5

3. Збережіть електронну книгу у файлі Завдання_1.xls.

4. Самостійно створіть таблицю значень функції f(x) = 4соs2x + 3х на інтервалі [0; 6] з кроком 0,5 та побудуйте за допомогою майстра діаграм графік цієї функції (рис. 6).

Рис. 6

Щоб отримати згладжену лінію графіка, під час побудови діаграми необхідно вибрати нестандартний тип діаграми Гладкі графіки (рис. 7). Перевірте правильність підбору параметра, визначивши за графіком, коли приблизно значення цільової функції дорівнює 15.

Рис. 7

Завдання 2. Необхідно визначити термін кредиту, за якого перший внесок (поле «Всього до сплати, грн.») становить 500 грн. (у таблиці на рис. 8 – 566.7); формули для розрахунку відображені на рис. 9.

Рис. 8

Рис. 9

Методичні рекомендації:

1. Втановіть курсор у комірку G2, активізуйте команди Сервіс - Підбір параметру.

2. З’явиться вікно, у якому в полі Встановити у комірці: уведіть адресу комірки, значення якої необхідно знайти; у полі Значення: – числове значення, яке потрібно знайти для активної комірки (G2); в полі Змінюючи значення у комірці: – адресу комірки С2, значення якої необхідно знайти та натисніть кнопку ОК.

3. Після цього виведеться результат виконання операції . Якщо розв’язання знайдено, то при активізації кнопки ОК нове значення залишається в комірці G2, а кнопки Відміна – відновлюється попереднє значення.
4. У результаті знайдений термін кредиту становить 28.6 місяця (рис. 10).

Рис. 10

Отже, процедура підбору параметра дає змогу легко отримати потрібний результат, визначивши лише залежну комірку (або кілька комірок). Таку дію неможливо виконати власноруч, без використання цієї процедури.

Завдання 3. За допомогою табличного процесора розв’язати рівняння ln(x) = 10.

Методичні вказівки:

1. У комірку А1 введіть значення 10, а у комірку В1 уведіть формулу =Ln(A1) та натисніть клавішу Enter (рис. 11).

Рис. 11

2. Виділіть комірку В1 та за допомогою меню Сервіс - Підбір параметру викличте вікно Підбір параметру. У цьому вікні задайте значення підбору параметрів Установити у комірці: – адресу комірки В1, де знаходиться формула і значення якої необхідно знайти, Значення: – значення 10 (праву частину рівняння), Змінюючи значення у комірці: – адресу комірки А1, значення якої буде змінюватися (рис. 12).

Рис. 12

3. Після виконання одержимо результат, що зображено на рис. 13.

Рис. 13

Отже, результатом розв’язання рівняння буде х = 22025,84. Правильність результату можна перевірити за допомогою функцій Excel (Calc), якщо в будь-якій комірці набрати таку функцію: =LN(A1), де А1 = 22025,84. Результат виконання цієї функції буде 9,999972. Таким чином, рівняння розв’язане правильно.

  2. Розв'язування оптимізаційних задач
   При розв’язуванні широкого кола задач (зокрема, в галузі економіки) потрібно знайти оптимальний (найкращий) розв’язок конкретного завдання при виконанні деяких заданих умов. Як визначити оптимальні витрати на рекламу продукції? Як доставити продукцію до споживачів з мінімальними витратами на перевезення? Задачі пошуку оптимального розв’язку називаються задачами оптимізації. Критерієм оптимальності в задачах є різні параметри: максимальна кількість продукції, максимальний прибуток підприємства, мінімальні витрати виробництва тощо.
   Цільова функція — це аналітична залежність між критерієм оптимальності і параметрами, що підлягають оптимізації, з вказівкою напряму екстремуму. Для цільової функції завжди і обов’язково вказується вид екстремуму: f(x) ® max(f(x) ® min).
   Фактично, цільова функція — це числове значення, яке показує, наскільки оптимальним є знайдене рішення.

Пошук оптимального рішення завжди проводиться з урахуванням певних обмежень: підприємство має обмежений набір ресурсів, транспортні засоби мають обмежену вантажопідйомність і швидкість, інвестор планує вкласти в розвиток підприємства кошти в межах певної суми. Обмеження — це умови, що накладаються па параметри, від яких залежить значення цільової функції.

   Оптимізаційне моделювання — це пошук таких значень параметрів, при яких цільова функція досягає максимального або мінімального значення при заданих обмеженнях. Для пошуку оптимального рішення зручно використовувати надбудову Пошук розв'язування.
   Першим кроком при розв’язуванні задачі оптимізації є побудова математичної моделі задачі, яка включає:
   • перелік невідомих величин, значення яких потрібно знайти;
   • завдання цільової функції;
   • визначення критерію оптимізації цільової функції;
   • завдання системи обмежень у формі лінійних рівнянь і нерівностей.

   Приклад 2. Математична модель задачі пошуку найбільшого значення функції

У цій моделі змінною є х, цільовою функцією — f(х), критерієм — і вимога максимізації, обмеженням — умова -2 £ х £ 1.

Розглянемо приклад розв’язування задачі оптимізації.

Приклад 3. Потрібно скласти такий раціон годування тварин трьома видами корму, при якому вони отримають необхідну кількість поживних речовин A та B і собівартість кормів буде мінімальна. Ціни кормів, необхідну кількість поживних речовин і їх зміст в кожному кормі наведені у таблиці.

Якщо позначити Х = ( х₁, х₂, х₃) - шукану кількість кормів, то оптимізаційна задача формулюється так:

Знайти розв'язок Х системи рівнянь:

при якому цільова функція

приймає мінімельне значення.

1. Математичне формулювання задачі необхідно оформити у вигляді таблиці, що відображає основні залежності:

Клітинки таблиці мають наступний смисл:

- діапазон А1:С2 (жовтий колір) - містить таблицю значень (коефіцієнтів) А;

- діапазон D1:D2 (синій колір) - містить значення ресурсів В;

- діапазон А6:С6 (рожевий колір) - містить значення цін С (значення цільової функції);

- діапазон А4:С4 (зелений колір) - містить значення розв'язків Х, початкові значення якого задані 0 (нулем) та які будуть оптимізовані програмою;

- діапазон Е1:Е2 (блакитний колір) - містить вирази, які обчислюють добуток А*Х;

- клітинка Е6 (червоний колір) - містить вираз, який обчислює цільову функцію f = C*X.

2. Виділіть цільову клітинку Е6 та натисніть Дані - Розв'язувач. У вікні, що відкрилося необхідно встановити наступні параметри:

- "Оптимізувати цільову функцію" - Е6;

- встановити перемикач "До:" - "Мінімум";

- у полі "Змінюючи клітинки змінних:" вказіти діапазон А4:С4;

- в області "Підлягає обмеженням:" натиснути кнопку "Додати" і у вікні "Додати обмеження" увести обмеження: D1<=E1 та D2<=E2;

- натиснути кнопку "Параметри" і у вікну, що відкрилося встановити прапорці "Лінійна модель", "Невід'ємні значення" та вибрати перемикач "Оцінка" - "Лінійна".

3. Для запуску програми необхідно у вікні "Параметри розв'язувача" натиснути кнопку "Виконати". Результати обчислень будуть записині у змінювані клітинки таблиці. Наприкінці розв'яання задачі таблиця має мати наступний вигляд:

Робимо висновок, тварин належить годувати першим кормом у кількості 0,38 кг, третім - 3,85 кг і не використовувати другий корм взагалі. При такому раціоні витрати на вгодовування однієї тварини складутть 11,88 дол.

Отже, надбудова Пошук розв'язування є потужним засобом аналізу даних Excel (Calc) і широко застосовується при пошуку оптимальних рішень економічних, транспортних, технологічних задач.

Практична робота 2. Розв’язування оптимізаційної задачі

Під час роботи дотримуйтесь правил техніки безпеки.

Завдання.

Розв'язати задачу оптимізаційного моделювання.

Задача. Цех може виробляти стільці і столи. На виробництво стільця йде 5 одиниць матеріалу, на виробництво столу — 20 одиниць. Стілець вимагає 10 людино-годин, стіл — 15. Є 400 одиниць матеріалу і 450 людино-годин. Прибуток при виробництві стільця — 1125 грн, при виробництві столу — 2000 грн. Скільки треба зробити стільців і столів, щоб отримати максимальний прибуток?

Методичні рекомендації:

1. Побудуйте математичну модель даної задачі.
Позначимо: Х₁ — число виготовлених стільців, Х₂ — число столів. Задача оптимізації має вигляд:

2. На основі розробленої математичної моделі введіть в новій робочій книзі всі необхідні дані.

3. Завантажте надбудову Пошук розв'язування.
4. Заповніть поля діалогового вікна Параметри розв'язувача.

5. Отримайте результати, сформуйте звіт і збережіть знайдене рішення. Проаналізуйте знайдене рішення, зробіть висновок.

6. Збережіть книгу під іменем Прізвище_ПР2.

функцію: =LN(A1), де А1 = 22025,84. Результат виконання цієї функції буде 9,999972. Таким чином, рівняння розв’язане правильно.

Блог вчителя інформатики для 9-11 класу Іваницького В.О.

Шукати в цьому блозі

Урок №12.Розв’язування рівнянь, систем рівнянь, оптимізаційних задач.

Коментарі

Дописати коментар